Jawaban:
Pembuktian dengan Induksi Matematika
Catatan:
Karena nilai n pertama adalah 0, maka pembuktian ini akan dilakukan untuk n ∈ bilangan cacah.
Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa [tex]\large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1\end{aligned}$}[/tex] untuk n ∈ bilangan cacah (n ≥ 0).
Langkah Pertama
Pembuktian untuk nilai n pertama pada himpunan nilai n
Untuk n = 0, benar bahwa [tex]\large\text{$\begin{aligned}&2^{0+1}-1=2^1-1=1\end{aligned}$}[/tex].
Langkah Kedua
Asumsi
Andaikan benar untuk n = k, yaitu [tex]\large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1\end{aligned}$}[/tex], maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1, yaitu [tex]\large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^k+2^{k+1}=2^{k+2}-1\end{aligned}$}[/tex].
Langkah Ketiga
Pembuktian Asumsi
(Ruas persamaan dibalik agar lebih rapi saja.)
[tex]\large\text{$\begin{aligned}2^{k+2}-1&=\underbrace{2^0+2^1+2^2+\dots+2^k}_{\begin{array}{c}2^{k+1}-1\end{array}}+2^{k+1}\\2^{k+2}-1&=2^{k+1}-1+2^{k+1}\\2^{k+2}-1&=2\cdot2^{k+1}-1\\2^{k+2}-1&=2^{k+1+1}-1\\2^{k+2}-1&=2^{k+2}-1\\\textsf{Ruas kiri}&=\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}$}[/tex]
(terbukti benar)
∴ Kesimpulan:
Telah ditunjukkan bahwa persamaan di atas terbukti benar untuk n = 0. Telah ditunjukkan pula bahwa dengan asumsi benar untuk n = k, persamaan di atas terbukti benar untuk n = k + 1.
Oleh karena itu, [tex]\large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1\end{aligned}$}[/tex] BENAR untuk n ∈ bilangan cacah (n ≥ 0).
